Анализ графика производной функции

На рисунке представлен график производной функции y=f'(x). Чтобы определить верные утверждения о функции y=f(x), необходимо понимать связь между графиком производной и свойствами функции:

• Если f'(x) > 0, то f(x) возрастает.
• Если f'(x) < 0, то f(x) убывает.
• Если f'(x) = 0, то x - точка экстремума (минимума или максимума).
• Точки, где f'(x) меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума f(x).
• Точки, где f'(x) меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума f(x).

Теперь рассмотрим каждое утверждение:

1. На промежутке (-3; 1] функция y = f(x) убывает.

   На интервале (-3; 1] график f'(x) находится ниже оси x (т.е. f'(x) < 0), следовательно, функция f(x) убывает. Утверждение верно.

2. На интервале (-8,5; 5,2) функция y = f(x) имеет пять экстремумов.

   Необходимо посчитать точки, где f'(x) пересекает ось x на интервале (-8,5; 5,2). График f'(x) пересекает ось x четыре раза (примерно в точках -7, -4, -1 и 3). Следовательно, функция f(x) имеет четыре экстремума. Утверждение неверно.

3. На интервале (2; 4) производная функции y = f(x) отрицательна.

   На интервале (2; 4) график f'(x) находится ниже оси x, следовательно, производная f'(x) отрицательна. Утверждение верно.

4. На интервале (-1; 5) функция y = f(x) имеет одну точку экстремума.

   На интервале (-1; 5) график f'(x) пересекает ось x один раз (примерно в точке 3). Следовательно, функция f(x) имеет одну точку экстремума. Утверждение верно.

5. На отрезке [-3; -1] выполняется неравенство f(x) < 0.

   На отрезке [-3; -1] график f'(x) находится ниже оси x, следовательно, производная f'(x) отрицательна (f'(x) < 0), а не сама функция f(x). Утверждение неверно.

6. На интервале (0,5; 3) функция y = f(x) имеет точку максимума.

   На интервале (0,5; 3) график f'(x) пересекает ось x в точке 3. В этой точке f'(x) меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция f(x) имеет максимум. Утверждение верно.

Ответ: Верные утверждения: 1, 3, 4, 6.