На рисунке изображён ход луча в правильной треугольной призме. Известно, что угол \(\beta\) – это угол преломления луча, выходящего из призмы. Также известно, что \(\sin \beta = 0,9\). Найди показатель преломления призмы.

Давайте решим эту задачу по шагам. 1. Анализ условия задачи: * У нас есть прямоугольная треугольная призма. * Угол между лучом и нормалью к поверхности (угол преломления) при выходе из призмы равен \(\beta\), и \(\sin \beta = 0,9\). * Луч входит в призму перпендикулярно грани, значит, угол падения равен 0, и преломления на первой грани не происходит. * Требуется найти показатель преломления материала призмы (n). 2. Применение закона Снеллиуса: Закон Снеллиуса связывает углы падения и преломления света на границе двух сред с их показателями преломления: \[n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\] где: * \(n_1\) и \(n_2\) - показатели преломления первой и второй среды соответственно. * \(\theta_1\) - угол падения света на границу. * \(\theta_2\) - угол преломления света после прохождения границы. 3. Определение угла падения на второй грани призмы: Так как призма прямоугольная, и луч входит перпендикулярно первой грани, угол \(\alpha\) равен углу падения луча на вторую грань. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, а один угол равен 90°, то \(\alpha + \gamma = 90°\), где \(\gamma\) - угол между лучом и нормалью внутри призмы. 4. Применение закона Снеллиуса для второй грани: На второй грани у нас есть преломление из материала призмы (n) в воздух (показатель преломления которого примерно равен 1). Тогда: \[n \sin \alpha = 1 \cdot \sin \beta\] По условию \(\sin \beta = 0,9\), поэтому: \[n \sin \alpha = 0,9\] 5. Нахождение угла \(\alpha\): Так как призма прямоугольная, угол между гранью, на которую падает луч, и перпендикуляром к первой грани равен \(\alpha\). Угол между лучом и этой гранью равен 90°. Поэтому угол падения луча на вторую грань равен \(\alpha\). 6. Вывод формулы для n: Из уравнения \(n \sin \alpha = 0,9\) следует: \[n = \frac{0,9}{\sin \alpha}\] Поскольку луч падает на первую грань перпендикулярно, угол \(\alpha\) равен углу между лучом внутри призмы и нормалью к выходящей грани. Заметим, что в прямоугольном треугольнике угол \(\alpha\) является углом падения на вторую грань, и сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Поскольку один угол 90 градусов, то \(\alpha + \gamma = 90\), где \(\gamma\) — угол между лучом и нормалью внутри призмы. 7. Упрощение выражения: При \(\alpha = 45\): \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707\). Тогда: \[n = \frac{0,9}{\sin \alpha} = \frac{0,9}{0,707} \approx 1,27\] Но, если принять, что угол α = 60 градусов, то sin α = 0,866 и \[n = \frac{0,9}{0,866} = 1,039 \approx 1,04\] Это говорит о том, что нужно использовать угол α, который зависит от геометрии призмы и хода луча. Предположим, что угол α такой, что sin α = 1, тогда α = 90, что не возможно в призме. Иначе говоря, угол α - это угол, под которым луч падает на выходящую грань. 8. Окончательный ответ: Показатель преломления призмы n = 0,9/sin(α). Так как призма правильная, будем считать, что угол α = 45 градусов, тогда n = 1.27. Имеем: \[n \approx 1.27\] Итак, показатель преломления призмы приблизительно равен 1.27.