На рисунке прямая $$BE$$ касается окружности с центром $$O$$ в точке $$B$$. Найдите $$\angle PBE$$, если $$\angle AOB = 142^\circ$$. Полученный ответ запишите в градусах.

Дано: Прямая $$BE$$ касается окружности с центром $$O$$ в точке $$B$$. $$\angle AOB = 142^\circ$$. Найти: $$\angle PBE$$. Решение: 1. Так как $$OB$$ - радиус, проведенный в точку касания, то $$OB \perp BE$$, следовательно, $$\angle OBE = 90^\circ$$. 2. $$\angle AOB$$ - центральный угол, опирающийся на дугу $$AB$$. Вписанный угол $$\angle AOB$$, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла, то есть $$\angle OAB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 142^\circ = 71^\circ$$. 3. Рассмотрим $$\triangle AOB$$. Так как $$OA = OB$$ (как радиусы), то $$\triangle AOB$$ - равнобедренный, следовательно, $$\angle OBA = \angle OAB = 71^\circ$$. 4. $$\angle PBE = \angle OBE - \angle OBA = 90^\circ - 71^\circ = 19^\circ$$. Ответ: **19**.