4. На рисунке треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC, AD — его высота, BD = 16 см, DC = 4 см. Найдите основание AC и высоту AD.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, высота BD не является также медианой. Необходимо найти основание AC и высоту AD.

AC = AD + DC = 16 + 4 = 20 см.

Рассмотрим треугольник ABD: AD - высота, поэтому треугольник ABD - прямоугольный. Используем теорему Пифагора для треугольника ABD:

$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$

В равнобедренном треугольнике ABC: AB = BC

BC = BD + DC = 16 + 4 = 20

$$AB = BC = 20 \text{ см}$$

Подставим известное значение BC (или AB) в уравнение теоремы Пифагора:

$$20^2 = AD^2 + 16^2$$

$$400 = AD^2 + 256$$

$$AD^2 = 400 - 256 = 144$$

$$AD = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Ответ: AC = 20 см, AD = 12 см.