На рисунке треугольник ABC, сторона AB которого равна 16. В треугольнике провели медиану CM и высоту CH, причём CM = CB. Чему равна длина отрезка BH?

Пусть H лежит на AB, а M — середина AB. Тогда AM = MB = 8.

Обозначим BH = x и CH = h. Тогда AH = 16 − x, поэтому MH = AH − AM = 8 − x.

Из прямоугольных треугольников CHM и CHB и условия CM = CB получаем:

\(h^2+(8-x)^2=h^2+x^2\), откуда \((8-x)^2=x^2\). Так как \(0\le x\le 8\), имеем \(8-x=x\), следовательно, \(x=4\).

Ответ: BH = 4.