4. На рисунке ВК – биссектриса угла АВС. Могут ли отрезки КМ и ВС пересечься при их продолжении? Объясните ответ.

Рассмотрим треугольник ABC. ВК - биссектриса угла ABC, следовательно, угол АВК = углу КВС = 36°.

Рассмотрим треугольник АВМ. Угол ВАМ = 72°, угол АВМ = 36°.

Найдем угол АМВ:

$$∠AMB = 180° - ∠BAM - ∠ABM = 180° - 72° - 36° = 72°$$.

Так как ∠BAM = ∠AMB = 72°, то треугольник АВМ - равнобедренный, и АВ = ВМ.

Рассмотрим треугольник КВМ. Угол КВМ = 36°, значит, угол ВМК = 180° - 72° = 108° (смежный с углом АМВ).

Найдем угол ВКМ:

$$∠BKM = 180° - ∠KBM - ∠BMK = 180° - 36° - 108° = 36°$$.

Так как ∠KBM = ∠BKM = 36°, то треугольник КВМ - равнобедренный, и ВМ = КМ.

Так как АВ = ВМ и ВМ = КМ, то АВ = КМ. Значит, если отрезок КМ продолжить, то он пересечет отрезок ВС.

Ответ: Да, отрезки КМ и ВС могут пересечься при их продолжении.