На рисунке ВК — биссектриса угла АВС. Могут ли отрезки КМ и ВС пересечься при их продолжении? Объясните ответ.

На рисунке ВК — биссектриса угла ABC, то есть ∠ABK = ∠KBC = 36°.

Рассмотрим треугольник ABM. ∠BAM = 72° (дано), ∠ABM = ∠ABK = 36° (ВК - биссектриса).

Найдем ∠AMB в треугольнике ABM:

Сумма углов треугольника равна 180°.

∠AMB = 180° - ∠BAM - ∠ABM = 180° - 72° - 36° = 72°.

∠AMB = ∠BAM = 72°, следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, AM = BM.

∠KMB - смежный с ∠AMB.

∠KMB + ∠AMB = 180°

∠KMB = 180° - ∠AMB = 180° - 72° = 108°

Рассмотрим треугольник KMB.

∠KMB = 108°, ∠MBK = 36°.

Найдем ∠MKB в треугольнике KMB:

∠MKB = 180° - ∠KMB - ∠MBK = 180° - 108° - 36° = 36°

∠MBK = ∠MKB = 36°, следовательно, треугольник KMB - равнобедренный, MB = KM.

Из этого следует, что KM = BM = AM.

Так как ∠AMB = 72°, то ∠KMB = 108°.

Теперь можно сделать вывод, что KM и BC пересечься не могут.

Ответ: Отрезки КM и ВС не могут пересечься при продолжении, так как углы при основании равнобедренного треугольника равны.