На средней линии трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ выбрали произвольную точку $$R$$. Докажите, что сумма площадей треугольников $$BRC$$ и $$ARD$$ равна половине площади трапеции.

Доказательство:

Пусть $$AD = a$$, $$BC = b$$, $$h$$ — высота трапеции $$ABCD$$, а $$m$$ — средняя линия трапеции. Тогда $$m = \frac{a+b}{2}$$. Высота трапеции $$ABCD$$ равна сумме высот треугольников $$BRC$$ и $$ARD$$, опущенных из вершины $$R$$ на основания $$BC$$ и $$AD$$ соответственно. Так как точка $$R$$ лежит на средней линии трапеции, то расстояние от неё до каждого из оснований равно половине высоты трапеции, то есть $$\frac{h}{2}$$.

Площадь треугольника $$BRC$$ равна:

$$ S_{BRC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{bh}{4} $$

Площадь треугольника $$ARD$$ равна:

$$ S_{ARD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4} $$

Сумма площадей треугольников $$BRC$$ и $$ARD$$ равна:

$$ S_{BRC} + S_{ARD} = \frac{bh}{4} + \frac{ah}{4} = \frac{(a+b)h}{4} $$

Площадь трапеции $$ABCD$$ равна:

$$ S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{(a+b)h}{2} $$

Тогда половина площади трапеции $$ABCD$$ равна:

$$ \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(a+b)h}{2} = \frac{(a+b)h}{4} $$

Следовательно, сумма площадей треугольников $$BRC$$ и $$ARD$$ равна половине площади трапеции $$ABCD$$, что и требовалось доказать.