12 На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

Пусть трапеция ABCD имеет основания AD и BC, а EF - средняя линия, где E - произвольная точка на EF.

Площадь трапеции ABCD равна: $$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$$, где h - высота трапеции.

Высота треугольников BFC и AFD равна половине высоты трапеции, то есть $$h/2$$.

Площадь треугольника AFD равна: $$S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{AD \cdot h}{4}$$.

Площадь треугольника BFC равна: $$S_{BFC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} = \frac{BC \cdot h}{4}$$.

Сумма площадей треугольников BFC и AFD равна: $$S_{AFD} + S_{BFC} = \frac{AD \cdot h}{4} + \frac{BC \cdot h}{4} = \frac{(AD + BC) \cdot h}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(AD + BC) \cdot h}{2} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Таким образом, сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции ABCD.