На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади трапеции.

Доказательство:

Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC. AD || BC.

Пусть EF — средняя линия трапеции, где E лежит на AB, а F лежит на CD.

Средняя линия EF равна полусумме оснований: \( EF = \frac{AD + BC}{2} \).

Выберем произвольную точку E на средней линии.

Пусть h — высота трапеции. Тогда высота треугольников, опущенная из E на AD и BC, будет \( \frac{h}{2} \).

Площадь треугольника AED: \( S_{AED} = \frac{1}{2} · AD · h_1 \), где \( h_1 \) — высота от E до AD.

Площадь треугольника BEC: \( S_{BEC} = \frac{1}{2} · BC · h_2 \), где \( h_2 \) — высота от E до BC.

Если E лежит на средней линии, то расстояние от E до AD и BC равно \( \frac{h}{2} \). То есть \( h_1 = h_2 = \frac{h}{2} \).

Тогда \( S_{AED} = \frac{1}{2} · AD · \frac{h}{2} = \frac{AD · h}{4} \).

И \( S_{BEC} = \frac{1}{2} · BC · \frac{h}{2} = \frac{BC · h}{4} \).

Сумма площадей: \( S_{AED} + S_{BEC} = \frac{AD · h}{4} + \frac{BC · h}{4} = \frac{h(AD + BC)}{4} \).

Площадь трапеции ABCD равна: \( S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} · h \).

Следовательно, \( S_{AED} + S_{BEC} = \frac{1}{2} · \frac{AD + BC}{2} · h = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Таким образом, сумма площадей треугольников AED и BEC равна половине площади трапеции ABCD.

Доказано.