На столе лежат пятиугольники и шестиугольники. Всего у них ровно 37 вершин. Сколько пятиугольников и сколько шестиугольников на столе?

Пусть x - количество пятиугольников, а y - количество шестиугольников.

Тогда, мы можем записать следующие уравнения:

$$5x + 6y = 37$$

Нужно найти целые положительные решения этого уравнения.

Выразим x через y:

$$x = \frac{37 - 6y}{5}$$

Теперь подберем значения y, чтобы x было целым числом:

1. Если y = 1, то $$x = \frac{37 - 6 \cdot 1}{5} = \frac{31}{5}$$ (не целое)
2. Если y = 2, то $$x = \frac{37 - 6 \cdot 2}{5} = \frac{25}{5} = 5$$ (целое)
3. Если y = 3, то $$x = \frac{37 - 6 \cdot 3}{5} = \frac{19}{5}$$ (не целое)
4. Если y = 4, то $$x = \frac{37 - 6 \cdot 4}{5} = \frac{13}{5}$$ (не целое)
5. Если y = 5, то $$x = \frac{37 - 6 \cdot 5}{5} = \frac{7}{5}$$ (не целое)
6. Если y = 6, то $$x = \frac{37 - 6 \cdot 6}{5} = \frac{1}{5}$$ (не целое)

Получается, что единственное целое решение: x = 5, y = 2.

Ответ: 5 пятиугольников и 2 шестиугольника.