Вопрос:

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены точки M и N. Известно, что M - середина стороны AB, а BN:NC = 2:5. Найдите площадь треугольника MND, если площадь параллелограмма ABCD равна 476.

Ответ:

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства параллелограмма и отношения площадей треугольников.

Обозначим площадь параллелограмма ABCD как $$S_{ABCD}$$. Известно, что $$S_{ABCD} = 476$$.

Поскольку M - середина AB, то $$AM = MB = \frac{1}{2} AB$$. Значит, $$AM = \frac{1}{2} AB$$.

Также дано, что $$BN:NC = 2:5$$. Следовательно, $$BN = \frac{2}{7} BC$$ и $$NC = \frac{5}{7} BC$$.

Площадь треугольника MND можно найти, вычитая из площади параллелограмма площади треугольников AMN, MCD и DNC.

Площадь треугольника AMN:

$$S_{MBN} = \frac{1}{2} cdot MB cdot BN cdot sin(\angle B) = \frac{1}{2} cdot \frac{1}{2} AB cdot \frac{2}{7} BC cdot sin(\angle B) = \frac{1}{14} AB cdot BC cdot sin(\angle B)$$

Площадь параллелограмма ABCD:

$$S_{ABCD} = AB cdot BC cdot sin(\angle B)$$

Тогда $$S_{MBN} = \frac{1}{14} S_{ABCD} = \frac{1}{14} cdot 476 = 34$$

Площадь треугольника MNC:

$$S_{MNC} = \frac{1}{2} cdot AB cdot BC$$ $$S_{DNC} = \frac{1}{2} cdot CD cdot NC cdot sin(\angle C) = \frac{1}{2} cdot AB cdot \frac{5}{7} BC cdot sin(\angle C) = \frac{5}{14} AB cdot BC cdot sin(\angle C) = \frac{5}{14} S_{ABCD} = \frac{5}{14} cdot 476 = 170$$

Площадь треугольника AMD:

$$S_{AMD} = \frac{1}{2} cdot AD cdot AM cdot sin(\angle A) = \frac{1}{2} cdot BC cdot \frac{1}{2} AB cdot sin(\angle A) = \frac{1}{4} AB cdot BC cdot sin(\angle A) = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} cdot 476 = 119$$

Площадь треугольника MND:

$$S_{MND} = S_{ABCD} - S_{MBN} - S_{DNC} - S_{AMD} = 476 - 34 - 170 - 119 = 153$$

Ответ: 153

Смотреть решения всех заданий с листа
Подать жалобу Правообладателю

Похожие