На сторонах AB и BC треугольника ABC лежат соответственно точки E и F так, что \(\frac{EF}{AC} = \frac{BE}{BC} = \frac{BF}{AB}\). Чему равен угол EFC, если \(\angle BAC = 30^\circ\)?

Разберемся с этой задачей. Из условия \(\frac{EF}{AC} = \frac{BE}{BC} = \frac{BF}{AB}\) следует, что треугольники \(\triangle BEF\) и \(\triangle BAC\) подобны по третьему признаку подобия (пропорциональность трех сторон). Поскольку треугольники \(\triangle BEF\) и \(\triangle BAC\) подобны, соответствующие углы равны. Следовательно, \(\angle BEF = \angle BAC = 30^\circ\). Далее, рассмотрим четырехугольник \(AEFC\). Сумма углов в четырехугольнике равна \(360^\circ\). \(\angle BAC + \angle AEC + \angle ECF + \angle AFE = 360^\circ\) Однако, для решения задачи нужно найти \(\angle EFC\). Так как \(\triangle BEF \sim \triangle BAC\), то \(\angle BFE = \angle BCA\) и \(\angle BEF = \angle BAC = 30^\circ\). Угол \(\angle EFC\) является внешним углом треугольника \(\triangle BEF\) при вершине \(F\). Значит, он равен сумме двух других углов, не смежных с ним: \(\angle EFC = \angle EBF + \angle BEF\). Так как \(\triangle BEF \sim \triangle BAC\), то \(\angle EBF = \angle ABC\). Тогда \(\angle EFC = \angle ABC + 30^\circ\). С другой стороны, так как \(\triangle BEF \sim \triangle BAC\), то \(\angle BFE = \angle BCA\), и \(\angle EFC\) и \(\angle BFE\) - смежные углы. Значит, \(\angle EFC + \angle BFE = 180^\circ\), т.е. \(\angle EFC + \angle BCA = 180^\circ\), откуда \(\angle EFC = 180^\circ - \angle BCA\). Также, в \(\triangle ABC\) верно \(\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^\circ\). Подставляя \(\angle BAC = 30^\circ\), получаем \(\angle ABC + \angle BCA = 150^\circ\), т.е. \(\angle BCA = 150^\circ - \angle ABC\). Подставляя \(\angle BCA = 150^\circ - \angle ABC\) в \(\angle EFC = 180^\circ - \angle BCA\), получаем \(\angle EFC = 180^\circ - (150^\circ - \angle ABC) = 30^\circ + \angle ABC\). Теперь, рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). У нас есть \(\angle BAC = 30^\circ\). Так как \(\frac{BE}{BC} = \frac{BF}{BA}\) и \(\angle B\) - общий, то \(\triangle BEF \sim \triangle BAC\). Из подобия следует, что \(\angle BFE = \angle BCA\) и \(\angle BEF = \angle BAC = 30^\circ\). И, значит, \(\angle EFC = 180^\circ - \angle BFE = 180^\circ - \angle BCA\). А так как \(\angle BCA = 180^\circ - 30^\circ - \angle ABC = 150^\circ - \angle ABC\), то \(\angle EFC = 180^\circ - (150^\circ - \angle ABC) = 30^\circ + \angle ABC\). Поскольку \(\angle BAC = \angle BEF = 30^\circ\), и \(\angle ABC = \angle EBF\), углы \(\angle ACB\) и \(\angle EFB\) также равны. Значит, треугольник \(\triangle ABC\) подобен треугольнику \(\triangle EBF\). Если мы предположим, что \(\triangle ABC\) равнобедренный, с \(\angle ABC = \angle ACB\), тогда \(2\angle ABC = 150^\circ\), \(\angle ABC = 75^\circ\), и \(\angle EFC = 30^\circ + 75^\circ = 105^\circ\). Если же не делать предположений о равнобедренности, то общий случай таков: \(\angle EFC = 180^\circ - \angle C\), и \(\angle C = 180^\circ - 30^\circ - \angle B = 150^\circ - \angle B\). Тогда, \(\angle EFC = 180^\circ - (150^\circ - \angle B) = 30^\circ + \angle B\). Ответ: 150°