На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяли точки М и № соответственно так, что АМ =6, MB=8, AN = 4 и NC = 12. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника AMN равна 9.

Дано: AM = 6, MB = 8, AN = 4, NC = 12, Площадь треугольника AMN = 9.

Найти: Площадь треугольника ABC.

$$AB = AM + MB = 6 + 8 = 14$$

$$AC = AN + NC = 4 + 12 = 16$$

Рассмотрим треугольники AMN и ABC. У них общий угол A.

Отношение площадей треугольников с общим углом равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол:

$$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{9}{S_{ABC}} = \frac{6 \cdot 4}{14 \cdot 16} = \frac{24}{224} = \frac{3}{28}$$

$$S_{ABC} = \frac{9 \cdot 28}{3} = 3 \cdot 28 = 84$$

Площадь треугольника ABC равна 84.

Ответ: 84