На сторонах BC и AC треугольника ABC выбраны точки E и F соответственно так, что FC = 2EC, а BE = 2AF. Отрезки AE и BF пересекаются в точке P. В каком отношении прямая CP делит сторону AB?

Обозначим через X точку пересечения прямой CP со стороной AB.

1. По теореме Чевы для cevian AE, BF и CX: \(\dfrac{BE}{EC}\cdot\dfrac{CX?}{?}\) — применим её в стандартной записи: \(\dfrac{BE}{EC}\cdot\dfrac{CF}{FA}\cdot\dfrac{AX}{XB}=1\).
2. Из условий \(BE=2AF\) и \(FC=2EC\), поэтому \(\dfrac{BE}{EC}\cdot\dfrac{CF}{FA}=\dfrac{2AF}{EC}\cdot\dfrac{2EC}{AF}=4\).
3. Тогда \(4\cdot\dfrac{AX}{XB}=1\), откуда \(\dfrac{AX}{XB}=\dfrac14\).

Ответ: прямая CP делит сторону AB в отношении AX:XB = 1:4.