На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и K, $$AB = BM = KD$$, $$∠AMB = 30°$$. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки AM и CK.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Обозначим $$AB = BM = KD = a$$.
Так как $$AB = BM$$, треугольник $$ABM$$ – равнобедренный. Следовательно, $$∠BAM = ∠BMA = 30°$$.
Тогда $$∠ABM = 180° - 30° - 30° = 120°$$.
В параллелограмме $$ABCD$$ угол $$∠ABC = 120°$$. Противоположный угол $$∠ADC$$ также равен $$120°$$.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $$180°$$. Значит, $$∠BAD = ∠BCD = 180° - 120° = 60°$$.
Теперь рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CDK$$. У нас $$AB = KD = a$$, $$BM = KD = a$$ и $$∠ABM = ∠CDK = 120°$$ (так как это углы параллелограмма).
Но так как угол $$∠CDK = 60°$$, условие задачи неверно.
Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CDK$$. У нас $$AB = KD = a$$, $$BM = KD = a$$ и угол $$∠BAD = ∠BCD = 60°$$. Следовательно, треугольники $$ABM$$ и $$CDK$$ равны по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует, что $$AM = CK$$.

Ответ: Углы параллелограмма: $$∠A = ∠C = 60°$$, $$∠B = ∠D = 120°$$. Отрезки AM и CK равны.