На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N так, что M — середина BC, CN:ND = 1:3. Выразите векторы \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{AN}\) и \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\vec x=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec y=\overrightarrow{AD}\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec y\), а \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}=-\vec x\).

1. Так как M — середина BC, то \(\overrightarrow{BM}=\frac12\vec y\). Поэтому \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec x+\frac12\vec y\).

2. Из отношения \(CN:ND=1:3\) следует, что \(\overrightarrow{CN}=\frac14\overrightarrow{CD}=-\frac14\vec x\). Тогда \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\vec x+\vec y-\frac14\vec x=\frac34\vec x+\vec y\).

3. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\left(\vec x+\frac12\vec y\right)+\left(\frac34\vec x+\vec y\right)=-\frac14\vec x+\frac12\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\vec x+\frac12\vec y\), \(\overrightarrow{AN}=\frac34\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{MN}=-\frac14\vec x+\frac12\vec y\).