На сторонах параллелограмма EFKP отмечены точки M, N, T, L так, как показано на рисунке, причем FM = PT, EL = KN. Докажите, что четырехугольник MLTN — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырехугольник MLTN является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны и равны.

Дано: EFKP — параллелограмм, FM = PT, EL = KN.

Доказательство:

1. Так как EFKP — параллелограмм, то EF || KP и EP || FK, а также EF = KP и EP = FK.

2. Рассмотрим стороны ML и NT:

   • ML = EF - EL - FM

   • NT = KP - KN - PT

   По условию FM = PT и EL = KN. Следовательно, EL + FM = KN + PT.

   Значит, EF - EL - FM = KP - KN - PT, то есть ML = NT.

3. Рассмотрим стороны MN и LT:

   • MN = FK - FN - KM

   • LT = EP - ET - LP

   По условию KN = EL и FM = PT. Следовательно, FN + KN = ET + PT.

   Значит, FK - FN - KN = EP - ET - PT, то есть MN = LT.

4. Таким образом, ML = NT и MN = LT, что означает равенство противоположных сторон четырехугольника MLTN.

5. Теперь докажем параллельность сторон ML || NT и MN || LT:

   • Так как EF || KP, то ML || NT (лежат на параллельных прямых).

   • Так как EP || FK, то MN || LT (лежат на параллельных прямых).

6. Итак, в четырехугольнике MLTN противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник MLTN — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.