3. На сторонах правильного (равностороннего) треугольника ABC отложены равные отрезки AM, BK и CP, MP \(\perp\) BC. a) Найдите \(\angle C\) и \(\angle CMP\). б) Найдите угол \(\angle BKP\) и докажите, что треугольники MPC и KBP равны. в) Найдите BP, если BK = 10. г) Докажите, что треугольник MPK правильный.

a) В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Значит, \(\angle C = 60^{\circ}\). Так как MP перпендикулярна BC, то \(\angle MPC = 90^{\circ}\). Рассмотрим треугольник CMP. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, значит, \(\angle CMP = 180^{\circ} - \angle C - \angle MPC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}\). б) Рассмотрим треугольники MPC и KBP. Из условия задачи следует, что AM = BK = CP. Так как ABC - равносторонний треугольник, то AB = BC = CA. Следовательно, \(MB = AB - AM = BC - BK = PC = CA - CP = KB\). Таким образом, MB = PC = KB. Так как \(\angle C = \angle B = 60^{\circ}\) (углы равностороннего треугольника), и \(CP = BK\) (по условию), и \(MB = PC\) (доказано выше), то треугольники MPC и KBP равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Следовательно, \(\angle BKP = \angle CMP = 30^{\circ}\). в) Так как треугольники MPC и KBP равны, то \(BP = MC\). Также, поскольку AM = BK = CP и AB = BC = CA, то \(AM = MB\). Тогда BM = BK/2. Используя условие BK = 10, получаем \(BP = KB / 2 = 10 / 2 = 5\). г) Так как треугольники MPC и KBP равны, то \(MP = KP\). Аналогично можно доказать, что треугольник AMK также равен треугольникам MPC и KBP. Следовательно, \(MK = KP = MP\). Таким образом, треугольник MPK равносторонний (правильный).