4. На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е, так, что точка В лежит на стороне AC, a точка Е на стороне AD, причем AC=AD, AB=АЕ. Докажите, что угол CBD равен углу DEC.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABE и ACD.

По условию:

• AC = AD
• AB = AE
• ∠CAD - общий угол

Следовательно, треугольники ABE и ACD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что ∠ABE = ∠ADE и ∠ACB = ∠ADB.

Т.к. AC = AD и AB = AE, то BC = AC - AB = AD - AE = DE.

Рассмотрим треугольники CBD и DEC.

• BC = DE (доказано выше)
• CD - общая сторона
• ∠BCD = ∠EDC (из равенства треугольников ACD и ABE)

Следовательно, треугольники CBD и DEC равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что ∠CBD = ∠DEC.

Что и требовалось доказать.