Контрольные задания
Вопрос:

На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла ВАС.

Фото задания: На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите…Фото задания

Ответ:

Дано:

  • Угол ВАС.
  • На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки: AB = AC = AD.
  • Угол BDC = 160°.

Найти:

  • Угол ВАС.

Решение:

  1. Рассмотрим треугольник ABD: Так как AB = AD, то треугольник ABD равнобедренный.
  2. Рассмотрим треугольник ACD: Так как AC = AD, то треугольник ACD равнобедренный.
  3. Углы при основании: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим:
    • Угол ABD = Угол ADB = α.
    • Угол ACD = Угол ADC = β.
  4. Угол BDC: Угол BDC состоит из двух углов: Угол ADB + Угол ADC.
    • 160° = α + β
  5. Углы в треугольниках:
    • В равнобедренном треугольнике ABD: Угол BAC + Угол ABD + Угол ADB = 180°. Поскольку AD — биссектриса угла BAC, то Угол BAD = Угол CAD. Пусть Угол BAD = Угол CAD = γ. Тогда Угол BAC = 2γ. В треугольнике ABD: 2γ + α + α = 180° => 2γ + 2α = 180° => γ + α = 90°.
    • В равнобедренном треугольнике ACD: Угол CAD + Угол ACD + Угол ADC = 180°. => γ + β + β = 180° => γ + 2β = 180°.
  6. Составляем систему уравнений:
    • 1) α + β = 160°
    • 2) γ + α = 90°
    • 3) γ + 2β = 180°
  7. Решаем систему:
    • Из (2) выразим α: α = 90° - γ.
    • Подставим α в (1): (90° - γ) + β = 160° => β - γ = 70° => β = 70° + γ.
    • Подставим β в (3): γ + 2(70° + γ) = 180° => γ + 140° + 2γ = 180° => 3γ = 40° => γ = 40°/3.
  8. Находим угол BAC: Угол BAC = 2γ = 2 * (40°/3) = 80°/3.
  9. Перепроверим условие: На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки. Это означает, что AB = AC = AD.
  10. Вернемся к упрощению: Так как AB = AC, треугольник ABC равнобедренный. AD — биссектриса угла BAC.
  11. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABD (AB=AD), угол BAD = γ, углы при основании ABD и ADB равны α. Тогда 2α + γ = 180°.
  12. Рассмотрим равнобедренный треугольник ACD (AC=AD), угол CAD = γ, углы при основании ACD и ADC равны β. Тогда 2β + γ = 180°.
  13. Из этого следует, что 2α = 2β, т.е. α = β.
  14. Но мы знаем, что угол BDC = угол ADB + угол ADC = α + β = 160°.
  15. Если α = β, то 2α = 160°, откуда α = 80°.
  16. Тогда β = 80°.
  17. Теперь найдем γ: 2α + γ = 180° => 2(80°) + γ = 180° => 160° + γ = 180° => γ = 20°.
  18. Угол BAC = 2γ = 2 * 20° = 40°.

Ответ: 40°.