На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 4, DC = 8. Площадь треугольника ABC равна 36. Найдите площадь треугольника BCD.

Давайте разберемся с этой задачей по геометрии. 1. **Понимание условия**: У нас есть треугольник ABC, на стороне AC которого отмечена точка D. Известно, что AD = 4, DC = 8. Площадь всего треугольника ABC равна 36. Наша цель — найти площадь треугольника BCD. 2. **Ключевая идея**: Треугольники ABC и BCD имеют общую высоту, проведенную из вершины B к основанию AC. Площадь треугольника вычисляется по формуле ( S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота ). Так как высота у треугольников ABC и BCD одна и та же, то площади этих треугольников пропорциональны их основаниям (AC и DC соответственно). 3. **Вычисление**: - Основание AC = AD + DC = 4 + 8 = 12. - Площадь треугольника ABC = 36. - Отношение основания DC к основанию AC равно \frac{DC}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}. - Так как высота для обоих треугольников одинаковая, отношение их площадей будет равно отношению их оснований. - Площадь треугольника BCD = площадь треугольника ABC * \frac{DC}{AC} = 36 * \frac{2}{3} = 24. 4. **Итоговый ответ**: Площадь треугольника BCD равна 24. **Развернутый ответ:** Мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 36. Точка D делит сторону AC на два отрезка: AD = 4 и DC = 8. Полная длина AC равна 4 + 8 = 12. Так как треугольники ABC и BCD имеют общую высоту из вершины B к стороне AC, то их площади относятся друг к другу как длины оснований AC и DC соответственно. Отношение DC к AC равно 8/12, что сокращается до 2/3. Следовательно, площадь треугольника BCD будет равна \frac{2}{3} от площади треугольника ABC, то есть 36 * \frac{2}{3} = 24. Таким образом, площадь треугольника BCD равна 24.