Доказательство равнобедренности треугольника ABC

Дано:

• Треугольник ABC
• Точки D и E на стороне AC, такие что AD = CE
• BD = BE

Доказать:

Треугольник ABC — равнобедренный (AB = BC).

Доказательство:

1. Отложим на прямой AC отрезок AF = CA так, чтобы точка A лежала между F и C. Аналогично, отложим CG = AC так, чтобы точка C лежала между A и G. Тогда FA = CA = AG.

2. По условию, AD = CE. Отсюда следует, что FD = FA + AD = CA + AD, и EG = EC + CG = EC + AC.

3. Поскольку CA + AD = AC + CE, то FD = GE.

4. Рассмотрим треугольники BFD и BGE. У них FD = GE (доказано выше), BD = BE (по условию), и углы BDF и BEG равны как смежные с углами BDA и BEC соответственно. Углы BDA и BEC равны, так как треугольник BDE — равнобедренный (BD = BE).

5. Следовательно, треугольники BFD и BGE равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

6. Из равенства треугольников BFD и BGE следует, что BF = BG.

7. Заметим, что FA = CA и AG = CA, следовательно, A является серединой отрезка FG.

8. Рассмотрим треугольники BFA и BGA. У них BA — общая сторона, BF = BG (доказано выше), FA = GA (A — середина FG).

9. Следовательно, треугольники BFA и BGA равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

10. Из равенства треугольников BFA и BGA следует, что углы BAF и BAG равны. Значит, BA — биссектриса угла FBG.

11. Поскольку BA — биссектриса и медиана в треугольнике FBG (A — середина FG), то треугольник FBG — равнобедренный с основанием FG, и BF = BG.

12. Рассмотрим треугольники BFC и BGC. У них BC — общая сторона, BF = BG (доказано выше), FC = GC (так как FC = FA + AC = CA + AC, и GC = GA + AC = CA + AC).

13. Следовательно, треугольники BFC и BGC равны по трем сторонам.

14. Из равенства треугольников BFC и BGC следует, что углы BCF и BCG равны. Значит, BC — биссектриса угла FCG.

15. Поскольку треугольники BFA и BGA равны, то углы BAF и BAG равны, то есть BA — биссектриса угла FBG.

16. Таким образом, треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Ч.Т.Д.