622 На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так, что АК = 1 -= KD. Диагональ АС и отрезок ВК пересекают- 4 ся в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРК равна 1 см².

Логика такая:

1. Отношение отрезков:

Т.к. AK = (1/4)KD, то AD = AK + KD = AK + 4AK = 5AK. Следовательно, AK/AD = 1/5.

2. Подобие треугольников:

Треугольники APK и CPB подобны (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). Коэффициент подобия k = AK/BC = AK/AD = 1/5.

3. Отношение площадей подобных треугольников:

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. S(APK) / S(CPB) = (1/5)^2 = 1/25. Так как S(APK) = 1 см², то S(CPB) = 25 см².

4. Отношение площадей треугольников с общей высотой:

Треугольники ABK и CBK имеют общую высоту, опущенную из вершины B на сторону AC. Отношение их площадей равно отношению длин оснований AK и KC. AK / KC = 1 / 4, следовательно S(ABK) / S(CBK) = 1/4. S(ABK) = S(APK) + S(BPK) = 1 + S(BPK), S(CBK) = S(CPB) + S(BPK) = 25 + S(BPK). (1 + S(BPK)) / (25 + S(BPK)) = 1/4 4(1 + S(BPK)) = 25 + S(BPK) 4 + 4S(BPK) = 25 + S(BPK) 3S(BPK) = 21 S(BPK) = 7 см².

5. Площадь треугольника ABK:

S(ABK) = S(APK) + S(BPK) = 1 + 7 = 8 см².

6. Площадь треугольника CBK:

S(CBK) = S(CPB) + S(BPK) = 25 + 7 = 32 см².

7. Площадь треугольника ABC:

S(ABC) = S(ABK) + S(CBK) = 8 + 32 = 40 см².

8. Площадь параллелограмма ABCD:

Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника, образованного его диагональю. S(ABCD) = 2 * S(ABC) = 2 * 40 = 80 см².

Проверка за 10 секунд: Площадь параллелограмма ABCD равна 80 см².

Доп. профит: База: Знание свойств подобных треугольников и умение находить отношения площадей позволяют решать сложные задачи геометрии.