625 Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см². Найдите площадь трапеции АВCD.

Разбираемся:

1. Отношение оснований:

AD = 5BC. Пусть BC = x, тогда AD = 5x.

2. Подобие треугольников:

Треугольники BCM и DAM подобны по двум углам (вертикальные углы при M и внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD). Коэффициент подобия k = BC/AD = x/5x = 1/5.

3. Высота трапеции:

Пусть высота трапеции равна h. Тогда высота треугольника BCM равна h1, а высота треугольника DAM равна h2. h1/h2 = 1/5. Также h1 + h2 = h. Значит, h1 = h/6 и h2 = 5h/6.

4. Площадь треугольника AMH:

S(AMH) = 4 см². AH = AD - HD = AD - BC = 5x - x = 4x.

5. Выражение для площади треугольника AMH:

S(AMH) = 1/2 * AH * h2 = 1/2 * 4x * (5h/6) = (10xh)/3 = 4 xh = 1.2.

6. Площадь трапеции ABCD:

S(ABCD) = 1/2 * (BC + AD) * h = 1/2 * (x + 5x) * h = 1/2 * 6x * h = 3xh = 3 * 1.2 = 3.6 см².

Площадь трапеции ABCD = 3.6

Ответ: 3.6 см²

Проверка за 10 секунд: Площадь трапеции равна 3.6 см².

Доп. профит: Читерский прием: Используйте подобие треугольников и пропорции для упрощения расчетов площадей в задачах геометрии.