На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка K так, что CD = DK. а) Докажите, что CK — биссектриса угла BCD. б) Найдите периметр параллелограмма, если известно, что AB = 9 см, AK = 5 см.

а) В параллелограмме AB = CD и AB ∥ CD. По условию CD = DK, следовательно, AB = DK. Поскольку DK лежит на AD, а AB ∥ AD, то AB ∥ DK. Значит, четырёхугольник ABKD — параллелограмм, и BK ∥ AD ∥ CD.

Угол BCK равен углу CKD как накрест лежащие углы при BK ∥ CD. В треугольнике CDK стороны CD и DK равны, поэтому углы DCK и CKD равны. Следовательно, ∠BCK = ∠DCK, то есть CK — биссектриса угла BCD.

б) AD = AK + KD = AK + CD = 5 + 9 = 14 см. Так как в параллелограмме AB = CD и AD = BC, периметр равен 2(AB + AD) = 2(9 + 14) = 46 см.

Ответ: а) CK — биссектриса угла BCD; б) 46 см.