На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 45, MD=15, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

1. По условию, \( BC \) — диаметр полуокружности, значит, угол \( ∠ BMC = 90^\circ \) (угол, опирающийся на диаметр).
2. \( BM \) — высота треугольника \( ABC \) (так как \( BM ⊥ MC \), а \( M \) лежит на \( BC \)).
3. \( AD \) — высота треугольника \( ABC \), значит, \( AD ⊥ BC \).
4. \( M \) лежит на \( AD \), поэтому \( M \) — точка пересечения двух высот: \( BM \) и \( AD \).
5. Следовательно, \( M \) является точкой пересечения высот треугольника \( ABC \).
6. По условию, \( H \) — точка пересечения высот треугольника \( ABC \). Таким образом, \( M \) совпадает с \( H \), то есть \( H = M \).
7. Мы знаем, что \( AD = 45 \) и \( MD = 15 \).
8. Так как \( H = M \), то \( HD = MD = 15 \).
9. \( AH = AD - HD = 45 - 15 = 30 \).

Ответ: AH = 30.