Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=16, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8.

Решение:

1. Пусть \( O \) — центр окружности, \( R \) — её радиус. \( AB = 16 \) — длина хорды. Расстояние от центра до хорды \( AB \) равно 15.
2. Проведём перпендикуляр \( OM \) к хорде \( AB \). \( OM = 15 \). Точка \( M \) делит хорду \( AB \) пополам: \( AM = MB = \frac{16}{2} = 8 \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OMA \). По теореме Пифагора найдём радиус окружности: \( R^2 = OM^2 + AM^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 \).
4. Значит, \( R = \sqrt{289} = 17 \).
5. Теперь рассмотрим хорду \( CD \). Расстояние от центра \( O \) до хорды \( CD \) равно 8. Пусть это расстояние будет \( OK \), где \( OK = 8 \).
6. В прямоугольном треугольнике \( OKD \) (где \( D \) — конец хорды \( CD \)), гипотенузой является радиус \( R = 17 \). \( KD \) — половина хорды \( CD \).
7. По теореме Пифагора: \( KD^2 + OK^2 = R^2 \).
8. \( KD^2 + 8^2 = 17^2 \).
9. \( KD^2 + 64 = 289 \).
10. \( KD^2 = 289 - 64 = 225 \).
11. \( KD = \sqrt{225} = 15 \).
12. Длина хорды \( CD = 2 \cdot KD = 2 \cdot 15 = 30 \).

Ответ: CD = 30.