На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 4 см.

Дано: ABCD — параллелограмм, M ∈ BC, AB = BM, CD = 8 см, CM = 4 см.

а) Доказать: AM — биссектриса угла BAD.

б) Найти: P_ABCD.

Решение:

а) Доказательство:

1. Так как ABCD — параллелограмм, то AB || CD и BC || AD. Значит, AB || CD и BM || AD.
2. ∠BMA = ∠MAD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AM).
3. По условию AB = BM, следовательно, треугольник ABM — равнобедренный с основанием AM.
4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠BAM = ∠BMA.
5. Так как ∠BMA = ∠MAD и ∠BAM = ∠BMA, то ∠BAM = ∠MAD.
6. Это означает, что AM — биссектриса угла BAD.

б) Найдем периметр параллелограмма:

1. Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD и BC = AD.
2. CD = 8 см (дано), следовательно, AB = 8 см.
3. BM = AB = 8 см (по условию).
4. BC = BM + CM = 8 см + 4 см = 12 см.
5. Так как BC = AD, то AD = 12 см.
6. Периметр параллелограмма ABCD равен P_ABCD = 2(AB + BC) = 2(8 см + 12 см) = 2 × 20 см = 40 см.

Ответ: б) Периметр параллелограмма ABCD равен 40 см.