На стороне BC треугольника ABC взяли такую точку A₁, что BA₁ : A₁C = 2 : 3, а на отрезке AA₁ – такую точку M, что AM : MA₁ = 3 : 1. Пусть прямая CM пересекает отрезок AB в точке C₁. Найдите AC₁/BC₁. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Чевы и теоремой Менелая. Обозначим AC₁/BC₁ = x. Тогда BC₁/AC₁ = 1/x. По теореме Чевы для треугольника ABC и точки M: $$\frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CA}{AB} \cdot \frac{BC_1}{C_1A} = 1$$ Подставляем известные значения: $$\frac{2}{3} \cdot \frac{AC}{AB} \cdot \frac{1}{x} = 1$$ Выражаем AC/AB: $$\frac{AC}{AB} = \frac{3x}{2}$$ Теперь рассмотрим треугольник AA₁B и секущую CM. По теореме Менелая: $$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BC}{CA_1} \cdot \frac{A_1M}{MA} = 1$$ Подставляем известные значения: $$x \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1$$ Получаем: $$\frac{5x}{6} = 1$$ Решаем уравнение относительно x: $$x = \frac{6}{5} = 1.2$$ Тогда AC₁/BC₁ = 0.4 Ответ: 0.4