На стороне CD квадрата ABCD взяли точку K так, что она равноудалена от вершины A и середины стороны BC. В каком отношении точка K делит сторону квадрата?

Давайте разберем эту геометрическую задачу. **1. Обозначения и построения:** - Пусть сторона квадрата равна \(a\). - Пусть \(M\) - середина стороны \(BC\). Тогда \(BM = MC = \frac{a}{2}\). - Пусть \(CK = x\), тогда \(KD = a-x\). - Соединим точки \(A\) и \(K\) прямой. - Соединим точки \(M\) и \(K\) прямой. **2. Условие задачи:** - По условию \(AK = MK\) (точка \(K\) равноудалена от вершины \(A\) и середины стороны \(BC\)). **3. Находим длины отрезков:** - Рассмотрим треугольник \(ADK\). По теореме Пифагора \(AK^2 = AD^2 + DK^2 = a^2 + (a-x)^2\). - Рассмотрим треугольник \(MCK\). \(MC = \frac{a}{2}\) и \(CK = x\). - Рассмотрим треугольник \(MBK\). Проведем перпендикуляр \(MH\) из точки \(M\) на сторону \(CD\). Тогда \(MH = a\) и \(CH = \frac{a}{2}\). Следовательно, \(HK = x - \frac{a}{2}\) или \(KH = \frac{a}{2}-x \). - Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MHK\) тогда \(MK^2 = MH^2 + HK^2 = (\frac{a}{2})^2 + (x - \frac{a}{2})^2\) или \(MK^2= a^2+(x-\frac{a}{2})^2\) - Так как \(AK = MK\), то \(AK^2 = MK^2\), тогда мы приравниваем эти выражения. **4. Решение уравнения:** - Запишем уравнение: \(a^2 + (a-x)^2 = (\frac{a}{2})^2+(x - \frac{a}{2})^2\) - Раскрываем скобки: \(a^2 + a^2 - 2ax + x^2 = \frac{a^2}{4} + x^2 - ax + \frac{a^2}{4}\) - Упрощаем: \(2a^2 - 2ax + x^2 = \frac{a^2}{2} + x^2 - ax\) - Убираем \(x^2\) с обеих сторон и переносим всё в левую часть: \(2a^2 - \frac{a^2}{2} -2ax + ax = 0\) - Упрощаем: \(\frac{3a^2}{2} - ax = 0\) - \(ax = \frac{3a^2}{2}\) Делим обе части на \(a\): \(x = \frac{3a}{2}\) - \(x = \frac{3a}{2}\) - это невозможно, так как \(x\) должен быть меньше \(a\), значит я ошибся при расчете длины \(MK\). - Верно: \(MK^2 = MH^2 + KH^2 = a^2+(x-\frac{a}{2})^2\). Тогда уравнение \( a^2 + (a-x)^2 = a^2 + (x-\frac{a}{2})^2 \) - После упрощения \( a^2-2ax+x^2=x^2-ax+\frac{a^2}{4}\), то есть \( \frac{3a^2}{4}=ax \) или \(x=\frac{3}{4}a\) - Следовательно, \(CK = \frac{3}{4}a\), а \(KD = a - \frac{3}{4}a = \frac{1}{4}a\). **5. Отношение:** - Отношение \(CK\) к \(KD\) равно \(\frac{CK}{KD} = \frac{\frac{3}{4}a}{\frac{1}{4}a} = \frac{3}{1}\). - То есть, точка \(K\) делит сторону \(CD\) в отношении \(3:1\). **Ответ:** Точка \(K\) делит сторону квадрата в отношении 3:1.