На стороне MN треугольника KMN выбрана точка P так, что ∠NKP = ∠NMK. Оказалось, что MP = 3PN. Найдите MK, если PK = 8.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе. Нам дан треугольник KMN, на стороне MN выбрана точка P так, что угол NKP равен углу NMK. Также известно, что MP = 3PN и PK = 8. Наша цель — найти длину MK.

Раз ∠NKP = ∠NMK, то треугольники NKP и NMK подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам: ∠N - общий, ∠NKP = ∠NMK).

Из подобия треугольников NKP и NMK следует пропорция:

$$\frac{NK}{NM} = \frac{NP}{NK} = \frac{PK}{MK}$$

Обозначим PN за x, тогда MP = 3x. Следовательно, NM = NP + MP = x + 3x = 4x.

Используем пропорцию:

$$\frac{NP}{NK} = \frac{PK}{MK}$$

Выразим NK из пропорции:

$$\frac{NP}{PK} = \frac{NK}{MK} => NK = \frac{NP * MK}{PK}$$

Подставим известные значения MP = 3PN:

Из подобия следует:

$$\frac{PK}{MK} = \frac{NP}{NK}$$

$$\frac{8}{MK} = \frac{x}{NK}$$

Выразим NK:

$$NK = \frac{x \cdot MK}{8}$$

А так же:

$$\frac{NK}{NM} = \frac{PK}{MK}$$

$$\frac{NK}{4x} = \frac{8}{MK}$$

$$NK = \frac{32x}{MK}$$

Приравняем выражения для NK:

$$\frac{x \cdot MK}{8} = \frac{32x}{MK}$$

$$\frac{MK}{8} = \frac{32}{MK}$$

$$MK^2 = 32 * 8$$

$$MK^2 = 256$$

$$MK = \sqrt{256}$$

$$MK = 16$$

Ответ: 16