На стороне ВС прямоугольника ABCD, у которого AB=3 и AD=7, отмечена точка Е так, что ∠EAB=45°. Найдите ED.

Решение:

Дано прямоугольник \(ABCD\) с \(AB = 3\) и \(AD = 7\). Точка \(E\) лежит на стороне \(BC\).

По условию \(AB = CD = 3\) и \(BC = AD = 7\).

Рассмотрим треугольник \(ABE\). \(AB = 3\). Угол \(B = 90^\circ\) так как \(ABCD\) — прямоугольник.

Нам дан угол \( ∠EAB = 45^\circ \).

В треугольнике \(ABE\) сумма углов равна \(180^\circ\). Поэтому:

\( ∠AEB = 180^\circ - ∠B - ∠EAB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Так как \( ∠AEB = ∠EAB = 45^\circ \), то треугольник \(ABE\) является равнобедренным, и \(BE = AB\).

Следовательно, \(BE = 3\).

Точка \(E\) лежит на стороне \(BC\), и \(BC = 7\).

Значит, \(EC = BC - BE = 7 - 3 = 4\).

Теперь рассмотрим треугольник \(EDC\). Этот треугольник прямоугольный, так как угол \(C = 90^\circ\) (угол прямоугольника).

Мы знаем длины катетов \(CD = 3\) и \(EC = 4\).

По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы \(ED\):

\( ED^2 = EC^2 + CD^2 \)

\( ED^2 = 4^2 + 3^2 \)

\( ED^2 = 16 + 9 \)

\( ED^2 = 25 \)

\( ED = √{25} = 5 \)

Ответ: 5