Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение:

Пусть дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AB = 4\) и \(CD = 10\). Пусть \(MN\) — средняя линия трапеции, где \(M\) — середина \(AD\), а \(N\) — середина \(BC\).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7\).

Пусть \(AC\) — диагональ, пересекающая среднюю линию \(MN\) в точке \(P\).

Диагональ \(AC\) делит среднюю линию \(MN\) на два отрезка: \(MP\) и \(PN\).

Отрезок \(MP\) соединяет середину боковой стороны \(AD\) с точкой на диагонали \(AC\). Рассмотрим треугольник \(ADC\). \(MP\) является средней линией в этом треугольнике, проведённой из середины \(AD\) параллельно \(CD\).

Следовательно, \(MP = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} × 10 = 5\).

Отрезок \(PN\) соединяет середину боковой стороны \(BC\) с точкой на диагонали \(AC\). Рассмотрим треугольник \(ABC\). \(PN\) является средней линией в этом треугольнике, проведённой из середины \(BC\) параллельно \(AB\).

Следовательно, \(PN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 4 = 2\).

Проверка: \(MP + PN = 5 + 2 = 7\), что равно длине средней линии \(MN\).

Нас просят найти больший из отрезков, на которые делит среднюю линию диагональ. Это отрезок \(MP\).

Ответ: 5