На стороні AD паралелограма ABCD вибрано точку К так, що АК : KD = 3 : 2, BK = CD (див. рисунок). Визначте площу паралелограма ABCD, якщо ∠AKB = α, BC = 20.

Щоб знайти площу паралелограма ABCD, нам потрібно використати відомі дані: BC = 20, ∠AKB = α, і відношення AK : KD = 3 : 2. Оскільки BC = AD (властивість паралелограма), то AD = 20. Нехай AK = 3x і KD = 2x. Тоді AD = AK + KD = 3x + 2x = 5x. Отже, 5x = 20, звідки x = 4. Таким чином, AK = 3 * 4 = 12 і KD = 2 * 4 = 8. Оскільки BK = CD, а CD = AB (властивість паралелограма), то BK = AB. Розглянемо трикутник ABK. За теоремою косинусів: $$AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 cdot AK cdot BK cdot cos(α)$$ Оскільки AB = BK, то: $$AB^2 = 12^2 + AB^2 - 2 cdot 12 cdot AB cdot cos(α)$$ $$0 = 144 - 24 cdot AB cdot cos(α)$$ $$24 cdot AB cdot cos(α) = 144$$ $$AB = \frac{144}{24 cdot cos(α)} = \frac{6}{cos(α)}$$ Площа паралелограма ABCD дорівнює: $$S = AD cdot h$$, де h - висота паралелограма, проведена до сторони AD. Висоту h можна знайти з трикутника ABK, розглянувши її як висоту, проведену до сторони AK. Площа трикутника ABK дорівнює: $$S_{ABK} = \frac{1}{2} cdot AK cdot BK cdot sin(α) = \frac{1}{2} cdot 12 cdot \frac{6}{cos(α)} cdot sin(α) = \frac{36 cdot sin(α)}{cos(α)} = 36 cdot tg(α)$$ З іншого боку, площа трикутника ABK також дорівнює: $$S_{ABK} = \frac{1}{2} cdot AK cdot h_1$$, де h_1 - висота трикутника, проведена до сторони AK. Тоді, $$h_1 = \frac{2 cdot S_{ABK}}{AK} = \frac{2 cdot 36 cdot tg(α)}{12} = 6 cdot tg(α)$$ Оскільки висота паралелограма h = h_1, то h = 6 * tg(α). Тоді площа паралелограма ABCD дорівнює: $$S = AD cdot h = 20 cdot 6 cdot tg(α) = 120 cdot tg(α)$$ Відповідь: Б) 120tgα