На уроке алгебры Вася и Петя записали в своих тетрадях многочлен $$x^2 + 3x + 7$$. Затем Вася заменил в своём многочлене какой-то коэффициент на не равное ему целое число $$a$$, а Петя в своём многочлене заменил какой-то коэффициент на не равное ему целое число $$b$$. При этом $$a$$ было не равно $$b$$. После этого на доске они построили графики двух полученных многочленов. Оказалось, что эти графики пересекаются ровно в двух точках с абсциссами $$x = 0$$ и $$x = 1$$. Найдите модуль разности между числами $$a$$ и $$b$$.

Пусть $$f(x) = x^2 + 3x + 7$$. Возможны три случая замены коэффициента:

1. Замена коэффициента при $$x^2$$. Тогда многочлены имеют вид: $$ax^2 + 3x + 7$$ и $$bx^2 + 3x + 7$$. Так как графики пересекаются в двух точках, то $$ax^2 + 3x + 7 = bx^2 + 3x + 7$$ при $$x = 0$$ и $$x = 1$$. Из этого следует, что $$(a-b)x^2 = 0$$ при $$x=0$$ и $$x=1$$. Это возможно только если $$a = b$$, что противоречит условию.
2. Замена коэффициента при $$x$$. Тогда многочлены имеют вид: $$x^2 + ax + 7$$ и $$x^2 + bx + 7$$. Так как графики пересекаются в двух точках, то $$x^2 + ax + 7 = x^2 + bx + 7$$ при $$x = 0$$ и $$x = 1$$. Из этого следует, что $$(a-b)x = 0$$ при $$x=0$$ и $$x=1$$. Это возможно только если $$a = b$$, что противоречит условию.
3. Замена свободного члена. Тогда многочлены имеют вид: $$x^2 + 3x + a$$ и $$x^2 + 3x + b$$. Так как графики пересекаются в двух точках, то $$x^2 + 3x + a = x^2 + 3x + b$$ при $$x = 0$$ и $$x = 1$$. При $$x = 0$$ получаем $$a = b$$, что противоречит условию. Значит, эта ситуация невозможна. При $$x=1$$ получаем $$1 + 3 + a = 1 + 3 + b$$, то есть $$4 + a = 4 + b$$, что приводит к $$a = b$$, что тоже противоречит условию.

Однако, условие задачи можно понять и по-другому. Предположим, что Вася и Петя записывают один и тот же многочлен, но каждый меняет свой коэффициент.

Пусть Вася заменил коэффициент при $$x^2$$, а Петя - свободный член. Тогда многочлены имеют вид: $$ax^2 + 3x + 7$$ и $$x^2 + 3x + b$$. Уравнение $$ax^2 + 3x + 7 = x^2 + 3x + b$$ должно иметь два корня: $$x=0$$ и $$x=1$$.

Тогда $$(a-1)x^2 + (7-b) = 0$$ при $$x=0$$ и $$x=1$$. При $$x=0$$ получаем $$7-b = 0$$, то есть $$b = 7$$. Но так как $$b$$ не равно начальному коэффициенту (то есть 7), то это невозможно.

Пусть Вася заменил коэффициент при $$x$$, а Петя - свободный член. Тогда многочлены имеют вид: $$x^2 + ax + 7$$ и $$x^2 + 3x + b$$. Уравнение $$x^2 + ax + 7 = x^2 + 3x + b$$ должно иметь два корня: $$x=0$$ и $$x=1$$.

Тогда $$(a-3)x + (7-b) = 0$$ при $$x=0$$ и $$x=1$$. При $$x=0$$ получаем $$7-b = 0$$, то есть $$b = 7$$. Но так как $$b$$ не равно начальному коэффициенту (то есть 7), то это невозможно.

Пусть Вася заменил коэффициент при $$x^2$$, а Петя - коэффициент при $$x$$. Тогда многочлены имеют вид: $$ax^2 + 3x + 7$$ и $$x^2 + bx + 7$$. Уравнение $$ax^2 + 3x + 7 = x^2 + bx + 7$$ должно иметь два корня: $$x=0$$ и $$x=1$$.

Тогда $$(a-1)x^2 + (3-b)x = 0$$ при $$x=0$$ и $$x=1$$. При $$x=0$$ это уравнение выполняется. При $$x=1$$ получаем $$(a-1) + (3-b) = 0$$, то есть $$a + 2 - b = 0$$, откуда $$a - b = -2$$. Тогда $$|a-b| = |-2| = 2$$.

Ответ: 2