[Начало условия обрезано] Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Обозначим третью сторону через \(c\), а медиану — через \(m=5\). По теореме Аполлония:

\(10^2+12^2=2\cdot5^2+\dfrac{c^2}{2}\), поэтому \(c^2=388\).

Пусть \(M\) — середина третьей стороны, а \(h\) — высота треугольника к этой стороне. Векторы от \(M\) к концам стороны имеют длину \(c/2\), а вектор к вершине — длину 5. Из разности квадратов двух известных сторон следует, что проекция первого из этих векторов на медиану равна \((12^2-10^2)/(4\cdot5)=11/5\). Поэтому квадрат высоты равен \(5^2-(11/5)^2=504/25\) для компоненты вдоль медианы? Удобнее вычислить площадь через определитель: квадрат удвоенной площади равен \(25\cdot97-121=2304\), поскольку \((c/2)^2=97\), а скалярное произведение медианы и половины основания равно 11. Следовательно, площадь равна \(\sqrt{2304}=48\).

Ответ: 48.