Решение задач по геометрии

Задача 1

Для решения этой задачи необходимо начертить два неколлинеарных вектора m и n на плоскости. Затем, используя правила сложения и умножения векторов на число, построить векторы, указанные в пунктах а) и б).

• а) -m + 2n:
  1. Сначала строим вектор -m, который противоположен вектору m по направлению.
  2. Затем строим вектор 2n, который в два раза длиннее вектора n и направлен в ту же сторону.
  3. Складываем вектор -m и вектор 2n, используя правило параллелограмма или треугольника. Полученный вектор будет равен -m + 2n.
• б) 3n - m:
  1. Строим вектор 3n, который в три раза длиннее вектора n и направлен в ту же сторону.
  2. Строим вектор -m, который противоположен вектору m по направлению.
  3. Складываем вектор 3n и вектор -m, используя правило параллелограмма или треугольника. Полученный вектор будет равен 3n - m.

Задача 2

Дано: ABCD - квадрат, CP = PD, O - точка пересечения диагоналей. Пусть BA = x и BC = y. Необходимо выразить векторы BO, BP, PA через векторы x и y.

• BO: Так как O - точка пересечения диагоналей квадрата, то BO является половиной диагонали BD. Диагональ BD можно выразить как BD = BA + AD = x + y. Следовательно, BO = $$\frac{1}{2}$$ (x + y).
• BP: Так как CP = PD, то P - середина CD. Следовательно, DP = $$\frac{1}{2}$$y. Тогда вектор BP = BC + CP = y + $$\frac{1}{2}$$y = $$\frac{3}{2}$$y.
• PA: PA = PD + DA = $$\frac{1}{2}$$y + (-x) = $$\frac{1}{2}$$y - x.

Задача 3

В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD = 8 см, BC = 7 см, ∠A = 60°. Необходимо найти среднюю линию трапеции, которая равна полусумме оснований: $$\frac{BC + AD}{2}$$.

Проведем высоты BH и CF из вершин B и C на основание AD. Рассмотрим треугольник ABH. Так как трапеция равнобедренная, то AH = FD. Также ∠A = 60°. В прямоугольном треугольнике ABH:

$$\cos{60°} = \frac{AH}{AB}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{AH}{8}$$ $$AH = 4$$

Тогда AD = AH + HF + FD = AH + BC + FD = 4 + 7 + 4 = 15 см.

Средняя линия трапеции равна:

$$\frac{BC + AD}{2} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

Ответ: Средняя линия трапеции равна 11 см.