Напишет —

Напишет - это глагол в форме 3-го лица единственного числа, будущего времени. Чтобы поставить его в неопределённую форму (инфинитив), нужно задать вопрос «что делать?» или «что сделать?». В данном случае, правильный вопрос: «что сделать?».

Ответ: написать