972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: a) A(1;-1) и B(-3;2); б) C(2;5) и D(5;2); в) (0;-1) и (3;1)

Решение: а) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две точки A(1;-1) и B(-3;2), мы можем использовать общее уравнение прямой вида \(ax + by + c = 0\). Поскольку обе точки лежат на прямой, их координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим координаты точки A(1;-1) в уравнение: \[a \cdot 1 + b \cdot (-1) + c = 0 \Rightarrow a - b + c = 0\] Подставим координаты точки B(-3;2) в уравнение: \[a \cdot (-3) + b \cdot 2 + c = 0 \Rightarrow -3a + 2b + c = 0\] Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными: 1. \(a - b + c = 0\) 2. \(-3a + 2b + c = 0\) Выразим \(a\) и \(b\) через \(c\). Из первого уравнения имеем \(a = b - c\). Подставим это во второе уравнение: \[-3(b - c) + 2b + c = 0 \Rightarrow -3b + 3c + 2b + c = 0 \Rightarrow -b + 4c = 0 \Rightarrow b = 4c\] Теперь найдем \(a\): \[a = b - c = 4c - c = 3c\] Таким образом, \(a = 3c\) и \(b = 4c\). Подставим значения \(a\) и \(b\) в общее уравнение прямой \(ax + by + c = 0\): \[3cx + 4cy + c = 0\] Поскольку \(c
eq 0\), мы можем разделить уравнение на \(c\): \[3x + 4y + 1 = 0\] Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A(1;-1) и B(-3;2), имеет вид: \(3x + 4y + 1 = 0\) б) Найдем уравнение прямой, проходящей через точки C(2;5) и D(5;2). Подставим координаты точки C(2;5) в уравнение: \[a \cdot 2 + b \cdot 5 + c = 0 \Rightarrow 2a + 5b + c = 0\] Подставим координаты точки D(5;2) в уравнение: \[a \cdot 5 + b \cdot 2 + c = 0 \Rightarrow 5a + 2b + c = 0\] Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными: 1. \(2a + 5b + c = 0\) 2. \(5a + 2b + c = 0\) Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить \(c\): \[(5a + 2b + c) - (2a + 5b + c) = 0 - 0 \Rightarrow 3a - 3b = 0 \Rightarrow a = b\] Подставим \(a = b\) в первое уравнение: \[2a + 5a + c = 0 \Rightarrow 7a + c = 0 \Rightarrow c = -7a\] Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в общее уравнение прямой \(ax + by + c = 0\): \[ax + ay - 7a = 0\] Поскольку \(a
eq 0\), мы можем разделить уравнение на \(a\): \[x + y - 7 = 0\] Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки C(2;5) и D(5;2), имеет вид: \(x + y - 7 = 0\) в) Найдем уравнение прямой, проходящей через точки (0;-1) и (3;1) Подставим координаты точки (0;-1) в уравнение: \[a \cdot 0 + b \cdot (-1) + c = 0 \Rightarrow -b + c = 0\] Подставим координаты точки (3;1) в уравнение: \[a \cdot 3 + b \cdot 1 + c = 0 \Rightarrow 3a + b + c = 0\] Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными: 1. \(-b + c = 0\) 2. \(3a + b + c = 0\) Из первого уравнения имеем \(b = c\). Подставим \(b = c\) во второе уравнение: \[3a + c + c = 0 \Rightarrow 3a + 2c = 0 \Rightarrow 3a = -2c \Rightarrow a = -\frac{2}{3}c\] Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в общее уравнение прямой \(ax + by + c = 0\): \[-\frac{2}{3}cx + cy + c = 0\] Поскольку \(c
eq 0\), мы можем разделить уравнение на \(c\): \[-\frac{2}{3}x + y + 1 = 0\] Умножим обе части уравнения на 3 чтобы избавиться от дроби: \[-2x + 3y + 3 = 0\] Умножим обе части уравнения на -1 чтобы избавиться от минуса у x: \[2x - 3y - 3 = 0\] Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки (0;-1) и (3;1), имеет вид: \(2x - 3y - 3 = 0\)