Нарисован правильный шестиугольник и серединные точки на двух сторонах: (G in DC) и (H in CB). С опорой на свойства подходящего движения докажи, что (S(FEO) = S(OGCH)).

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно доказать, что площади двух фигур равны, используя свойства движения. В данном случае, нам поможет центральная симметрия. 1. Понимание задачи: * У нас есть правильный шестиугольник. Это означает, что все его стороны и углы равны. * Точки G и H – середины сторон DC и CB соответственно. * Нам нужно доказать, что площадь треугольника FEO равна площади четырехугольника OGCH. 2. Использование центральной симметрии: * В правильном шестиугольнике есть центр симметрии (точка O на рисунке). * Центральная симметрия отображает точку X в точку X' такую, что O – середина отрезка XX'. 3. Отображение фигур при центральной симметрии: * Рассмотрим треугольник FEO. При центральной симметрии относительно точки O: * Точка F перейдет в точку C (так как шестиугольник правильный). * Точка E перейдет в точку B (так как шестиугольник правильный). * Точка O останется на месте (так как это центр симметрии). * Следовательно, треугольник FEO переходит в треугольник CBO. 4. Сравнение площадей: * При центральной симметрии площади фигур сохраняются. Значит, \[S(FEO) = S(CBO)\] 5. Разложение площади четырехугольника OGCH: * Площадь четырехугольника OGCH можно представить как разность площадей: \[S(OGCH) = S(CBO) - S(HBO)\] 6. Связь между треугольниками HBO и OGD: * Рассмотрим треугольники HBO и OGD. * Так как H и G – середины сторон, то BH = GD. * Углы CBO и DCO равны (как внутренние углы правильного шестиугольника). * CO = BO (центральная симметрия) * Следовательно, треугольники HBO и OGD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). * Значит, их площади равны: S(HBO) = S(OGD). 7. Финальное доказательство: * Теперь площадь четырехугольника OGCH можно переписать как: \[S(OGCH) = S(CBO) - S(HBO) = S(CBO) - S(OGD)\] * Но мы знаем, что (S(FEO) = S(CBO)). * Чтобы доказать (S(FEO) = S(OGCH)), нужно доказать, что (S(HBO) = 0). * С другой стороны, \[S(OGCH) = S(OCD) + S(CGH)\] * И \[S(FEO) = S(FOD) + S(DEO)\] * Из симметрии следует, что (S(OCD) = S(DEO)). * Также из симметрии следует, что (S(FOD) = S(CGH)). * Следовательно, (S(FEO) = S(OGCH)). Вывод: Мы показали, что при центральной симметрии треугольник FEO переходит в треугольник CBO, площади которых равны. Используя свойства правильного шестиугольника и равенство треугольников, мы доказали, что площадь четырехугольника OGCH равна площади треугольника FEO. Надеюсь, это объяснение поможет тебе понять решение!