Нарисуйте квадрат 4×4 клетки. Нарисуйте рядом клетчатые фигуры с таким же периметром, но меньшей площадью. Какие значения площади могут получиться?

Периметр квадрата со стороной 4 клетки равен \(4\cdot4=16\) единиц сетки, площадь — \(4\cdot4=16\) клеток. Например, прямоугольники 1 × 7, 2 × 6 и 3 × 5 имеют тот же периметр, а их площади меньше.

Площади приведённых фигур: 7, 12 и 15 клеток. Если имеются в виду прямоугольники с целыми сторонами, возможны также 8, 9, 10, 11, 12, 13 и 14 клеток: пара сторон должна в сумме давать 8, а площадь — быть меньше 16.

Если разрешены любые связные фигуры из клеток, а не только прямоугольники, минимальная возможная площадь — 7 клеток: у связной фигуры из n клеток периметр не больше \(2n+2\), поэтому при периметре 16 необходимо \(n\ge7\). Значения от 7 до 15 достижимы.

Ответ: для прямоугольников — площади 7–15 клеток; такие же значения возможны и для связных клетчатых фигур.