Найди, чему равно основание равнобедренного треугольника, если сумма углов при основании равна 60°, а высота, проведённая к основанию, — 31 см.

Для решения этой задачи нам потребуется вспомнить некоторые свойства равнобедренного треугольника и взаимосвязь между углами и сторонами.

1. Анализ условия:

• Дан равнобедренный треугольник.
• Сумма углов при основании равна 60°.
• Высота, проведенная к основанию, равна 31 см.

2. Определение углов треугольника:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть каждый из этих углов равен $$x$$. Тогда, согласно условию:

$$x + x = 60^\circ$$

$$2x = 60^\circ$$

$$x = 30^\circ$$

Таким образом, каждый угол при основании равен 30°.

Теперь найдем угол при вершине. Сумма углов в треугольнике равна 180°:

$$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$

Но это неверно, так как углы при основании по 30 градусов.

Если сумма углов при основании равна 60°, то каждый угол при основании равен 30°. Следовательно, третий угол (угол при вершине) равен: $$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$. Это противоречит условию равнобедренного треугольника, т.к. если один угол 120°, а два других по 30°, то это не равносторонний треугольник.

Если сумма углов *при основании* равна 60°, то каждый угол равен 30°. Значит, угол при вершине равен 180° - 60° = 120°. Это означает, что углы при основании равны 30°, и угол при вершине равен 120°. Однако, это не равносторонний треугольник.

Если сумма углов *у основания* равна 60°, то каждый из этих углов равен 30°. Следовательно, третий угол (угол при вершине) равен: $$180^\circ - 2 cdot 30^\circ = 120^\circ$$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой:

Высота, проведенная к основанию, делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. В этом прямоугольном треугольнике:

• Один из углов равен 30°.
• Катет (высота) равен 31 см.
• Гипотенуза является боковой стороной равнобедренного треугольника.

Основание равнобедренного треугольника делится высотой пополам. Обозначим половину основания как $$x$$. Тогда основание равно $$2x$$.

Используем тангенс угла 30°:

$$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{x}{31}$$

Знаем, что $$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$. Тогда:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{31}$$

$$x = \frac{31}{\sqrt{3}} = \frac{31\sqrt{3}}{3}$$

Основание равно $$2x$$:

$$2x = 2 \cdot \frac{31\sqrt{3}}{3} = \frac{62\sqrt{3}}{3}$$

Чтобы упростить, можно оценить $$\sqrt{3} \approx 1.732$$:

$$\frac{62 \cdot 1.732}{3} \approx \frac{107.384}{3} \approx 35.79$$

Ответ:

Основание равно $$ \frac{62\sqrt{3}}{3}$$ см, что приблизительно равно 35.79 см.