Найди длину биссектрисы угла равнобедренного треугольника, проведённой из угла при основании, если боковая сторона равна 40, а основание равно 10 см.

Давайте решим эту задачу. Пусть дан равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AB = BC = 40$$ см, а $$AC = 10$$ см. Необходимо найти длину биссектрисы $$BD$$, проведенной из угла $$B$$. 1. Определение косинуса угла при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $$\angle BAC = \angle BCA$$. Обозначим этот угол как $$\alpha$$. Используем теорему косинусов для нахождения $$\cos(\alpha)$$: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot \cos(\alpha)$$ $$40^2 = 40^2 + 10^2 - 2 cdot 40 cdot 10 cdot \cos(\alpha)$$ $$1600 = 1600 + 100 - 800 \cos(\alpha)$$ $$800 \cos(\alpha) = 100$$ $$\cos(\alpha) = \frac{100}{800} = \frac{1}{8}$$ 2. Нахождение косинуса половинного угла. Нам нужна биссектриса угла $$\alpha$$, поэтому нужно найти $$\cos(\frac{\alpha}{2})$$. Используем формулу половинного угла: $$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$$ $$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$$ 3. Применение теоремы косинусов для нахождения длины биссектрисы. Рассмотрим треугольник $$ABD$$, где $$AB = 40$$ см, $$\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$$, и нужно найти $$AD = x$$. Используем теорему косинусов: $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 cdot AB cdot AD cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$$ Но сначала нужно найти длину стороны AD. Так как BD - биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. $$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$$ $$\frac{AD}{DC} = \frac{AD}{AC - AD} = \frac{40}{40} = 1$$ $$AD = DC$$ $$AD = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ Теперь, когда мы знаем $$AD = 5$$, мы можем найти длину биссектрисы $$BD$$ по теореме косинусов: $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 cdot AB cdot AD cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$$ $$BD^2 = 40^2 + 5^2 - 2 cdot 40 cdot 5 cdot \frac{3}{4}$$ $$BD^2 = 1600 + 25 - 300$$ $$BD^2 = 1325$$ $$BD = \sqrt{1325} = 5\sqrt{53} \approx 36.4$$ Ответ: Длина биссектрисы приблизительно равна 36.4 см.