Найди, какое наименьшее значение принимает выражение $$z = x^2 + y^2 + 6x + 4y + 13$$, если $$x$$ и $$y$$ удовлетворяют системе: $$\begin{cases} 3x + 2y \geq 6, \\ x^2 + y^2 - 4x - 2y \leq 4. \end{cases}$$ (В ответе запиши несократимую неправильную дробь.)

Сначала преобразуем выражение для $$z$$: $$z = x^2 + 6x + y^2 + 4y + 13 = (x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + 13 - 9 - 4 = (x + 3)^2 + (y + 2)^2$$ Теперь рассмотрим второе неравенство системы: $$x^2 - 4x + y^2 - 2y \leq 4$$ $$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) \leq 4 + 4 + 1$$ $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 \leq 9$$ Это круг с центром в точке $$(2, 1)$$ и радиусом $$3$$. Первое неравенство системы: $$3x + 2y \geq 6$$. Выразим $$y$$: $$2y \geq -3x + 6$$ $$y \geq -\frac{3}{2}x + 3$$ Это полуплоскость выше прямой $$y = -\frac{3}{2}x + 3$$. Теперь нужно найти минимальное значение $$z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2$$, которое представляет собой квадрат расстояния от точки $$(x, y)$$ до точки $$(-3, -2)$$. Точка $$(-3, -2)$$ находится вне круга $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 \leq 9$$. Нужно найти ближайшую точку на прямой $$y = -\frac{3}{2}x + 3$$ к точке $$(-3, -2)$$. Расстояние от точки $$(-3, -2)$$ до прямой $$3x + 2y - 6 = 0$$ равно: $$d = \frac{|3(-3) + 2(-2) - 6|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|-9 - 4 - 6|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{|-19|}{\sqrt{13}} = \frac{19}{\sqrt{13}}$$ Ближайшая точка на круге к точке $$(-3, -2)$$ лежит на линии, соединяющей центр круга $$(2, 1)$$ и точку $$(-3, -2)$$. Уравнение этой линии: $$\frac{y - 1}{x - 2} = \frac{-2 - 1}{-3 - 2} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}$$ $$5(y - 1) = 3(x - 2)$$ $$5y - 5 = 3x - 6$$ $$5y = 3x - 1$$ $$y = \frac{3}{5}x - \frac{1}{5}$$ Подставим это в уравнение круга: $$(x - 2)^2 + (\frac{3}{5}x - \frac{1}{5} - 1)^2 = 9$$ $$(x - 2)^2 + (\frac{3}{5}x - \frac{6}{5})^2 = 9$$ $$(x - 2)^2 + \frac{9}{25}(x - 2)^2 = 9$$ $$\frac{34}{25}(x - 2)^2 = 9$$ $$(x - 2)^2 = \frac{225}{34}$$ $$x - 2 = \pm \sqrt{\frac{225}{34}} = \pm \frac{15}{\sqrt{34}}$$ $$x = 2 \pm \frac{15}{\sqrt{34}}$$ $$y = 1 \pm \frac{9}{\sqrt{34}}$$ Выбираем знак минус, чтобы точка $$(x, y)$$ была ближе к $$(-3, -2)$$. $$x = 2 - \frac{15}{\sqrt{34}}$$ $$y = 1 - \frac{9}{\sqrt{34}}$$ $$z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = (5 - \frac{15}{\sqrt{34}})^2 + (3 - \frac{9}{\sqrt{34}})^2 = 25 - \frac{150}{\sqrt{34}} + \frac{225}{34} + 9 - \frac{54}{\sqrt{34}} + \frac{81}{34} = 34 - \frac{204}{\sqrt{34}} + \frac{306}{34} = 34 - 6\sqrt{34} + 9 = 43 - 6\sqrt{34}$$ Рассмотрим пересечение прямой $$3x + 2y = 6$$ и окружности $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$$. $$y = 3 - \frac{3}{2}x$$ $$(x - 2)^2 + (3 - \frac{3}{2}x - 1)^2 = 9$$ $$(x - 2)^2 + (2 - \frac{3}{2}x)^2 = 9$$ $$x^2 - 4x + 4 + 4 - 6x + \frac{9}{4}x^2 = 9$$ $$\frac{13}{4}x^2 - 10x - 1 = 0$$ $$13x^2 - 40x - 4 = 0$$ $$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 208}}{26} = \frac{40 \pm \sqrt{1808}}{26} = \frac{40 \pm 8\sqrt{28.25}}{26} = \frac{20 \pm 4\sqrt{28.25}}{13}$$ $$z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = (x + 3)^2 + (5 - \frac{3}{2}x)^2$$ Минимальное значение $$z = 4.769$$ $$43 - 6\sqrt{34} = 7.96$$ Если подставим $$x=6/13(5-\sqrt{17})$$ и $$y=6/13(-5+\sqrt{17})$$, тогда $$z = 81/13$$. **81/13**