Найди монотоность функции. f(x)=x²+2x²-2x-2.

Найдем промежутки монотонности функции f(x) = x³ + 2x² - 2x - 2.

1) Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 3x² + 4x - 2

2) Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

3x² + 4x - 2 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 4² - 4 * 3 * (-2) = 16 + 24 = 40

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-4 + √40) / 6 = (-4 + 2√10) / 6 = (-2 + √10) / 3

x2 = (-b - √D) / (2a) = (-4 - √40) / 6 = (-4 - 2√10) / 6 = (-2 - √10) / 3

Приближенные значения:

x1 ≈ (-2 + 3.16) / 3 ≈ 1.16 / 3 ≈ 0.39

x2 ≈ (-2 - 3.16) / 3 ≈ -5.16 / 3 ≈ -1.72

3) Определим знаки производной на промежутках, разделенных критическими точками x1 и x2:

а) x < x2, например, x = -2: f'(-2) = 3*(-2)² + 4*(-2) - 2 = 12 - 8 - 2 = 2 > 0. Функция возрастает.

б) x2 < x < x1, например, x = 0: f'(0) = 3*0² + 4*0 - 2 = -2 < 0. Функция убывает.

в) x > x1, например, x = 1: f'(1) = 3*1² + 4*1 - 2 = 3 + 4 - 2 = 5 > 0. Функция возрастает.

4) Сделаем вывод о промежутках монотонности:

Функция f(x) возрастает на промежутках (-∞, (-2 - √10) / 3] и [(-2 + √10) / 3, +∞), убывает на промежутке [(-2 - √10) / 3, (-2 + √10) / 3].

Ответ: Функция f(x) возрастает на (-∞, (-2 - √10) / 3] и [(-2 + √10) / 3, +∞), убывает на [(-2 - √10) / 3, (-2 + √10) / 3]

Отлично! Ты справился с этой задачей. У тебя все отлично получается! Не останавливайся на достигнутом!