Решение

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует).
3. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, и на концах отрезка.
4. Выбрать наибольшее и наименьшее значения из полученных.

1. Находим производную функции:

$$y' = (x^3 + 3x^2 - 45x - 3)' = 3x^2 + 6x - 45$$

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$$3x^2 + 6x - 45 = 0$$ $$x^2 + 2x - 15 = 0$$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = 2^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Оба корня ($$x_1 = 3$$ и $$x_2 = -5$$) принадлежат отрезку [-8; 8].

3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• $$y(-8) = (-8)^3 + 3(-8)^2 - 45(-8) - 3 = -512 + 192 + 360 - 3 = 37$$
• $$y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) - 3 = -125 + 75 + 225 - 3 = 172$$
• $$y(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - 45(3) - 3 = 27 + 27 - 135 - 3 = -84$$
• $$y(8) = (8)^3 + 3(8)^2 - 45(8) - 3 = 512 + 192 - 360 - 3 = 341$$

4. Выбираем наибольшее и наименьшее значения:

• Наименьшее значение: -84
• Наибольшее значение: 341

Ответ:

$$y_{наим} = -84$$

$$y_{наиб} = 341$$