Найди объём прямоугольного параллелепипеда $$ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$$, если его рёбра $$AB$$ и $$BC$$ соответственно равны 10 и 9, а диагональ $$B_1 C$$ боковой грани равна $$3\sqrt{10}$$.

Давайте решим эту задачу вместе! 1. Вспоминаем формулу объема прямоугольного параллелепипеда: Объем $$V$$ прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: длины $$a$$, ширины $$b$$ и высоты $$c$$. $$V = a \cdot b \cdot c$$ 2. Анализируем условие: Нам даны: $$AB = a = 10$$ и $$BC = b = 9$$. Нужно найти высоту $$BB_1 = c$$. Мы знаем диагональ боковой грани $$B_1C = 3\sqrt{10}$$. Боковая грань - это прямоугольник, значит, мы можем применить теорему Пифагора. 3. Применяем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике $$B B_1 C$$: $$B_1C^2 = BC^2 + BB_1^2$$ Подставляем известные значения: $$(3\sqrt{10})^2 = 9^2 + c^2$$ $$9 \cdot 10 = 81 + c^2$$ $$90 = 81 + c^2$$ $$c^2 = 9$$ $$c = \sqrt{9} = 3$$ Итак, высота $$BB_1 = 3$$. 4. Вычисляем объем: Теперь мы знаем все три измерения параллелепипеда: $$a = 10$$, $$b = 9$$, $$c = 3$$. $$V = a \cdot b \cdot c = 10 \cdot 9 \cdot 3 = 270$$ Ответ: 270