Найди площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, если её диагональ равна 8 и образует с плоскостью основания угол 30°.

Давай решим эту задачу по шагам.

1. Представим себе правильную четырехугольную призму. Это означает, что в основании призмы лежит квадрат.

2. Пусть сторона основания равна a, а высота призмы равна h.

3. Диагональ призмы равна 8 и образует с плоскостью основания угол 30°. Это означает, что у нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна 8, один из углов равен 30°, а катеты - это диагональ основания и высота призмы.

4. Диагональ основания (квадрата) можно найти как $$d = a\sqrt{2}$$.

5. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю призмы, диагональю основания и высотой, мы можем записать:

$$\cos{30^\circ} = \frac{d}{8}$$

$$\sin{30^\circ} = \frac{h}{8}$$

6. Мы знаем, что $$\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ и $$\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$$.

7. Тогда:

$$\frac{d}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow d = 4\sqrt{3}$$

$$\frac{h}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow h = 4$$

8. Мы знаем, что $$d = a\sqrt{2}$$, поэтому $$a\sqrt{2} = 4\sqrt{3}$$. Отсюда $$a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$$.

9. Площадь боковой поверхности призмы равна $$S_{бок} = 4ah$$, так как у нас четыре боковые грани, каждая из которых является прямоугольником со сторонами a и h.

10. Подставляем значения: $$S_{бок} = 4 \cdot 2\sqrt{6} \cdot 4 = 32\sqrt{6}$$.

Ответ: $$32\sqrt{6}$$