Решение:

Дано: Куб со стороной 10 см, точка O - точка пересечения диагоналей куба.

1) $$2 \cdot \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{CC_1} + 0.5 \cdot \overrightarrow{CA}$$

Разложим векторы:

• $$\overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{OA}$$
• $$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$$

Тогда выражение принимает вид:

$$2 \cdot (-\overrightarrow{OA}) - \overrightarrow{CC_1} + 0.5 \cdot (-\overrightarrow{AC}) = -2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{CC_1} - 0.5\overrightarrow{AC}$$

Вектор $$ \overrightarrow{OA}$$ равен половине диагонали грани куба, то есть $$OA = \frac{1}{2}AC$$

Длина диагонали грани куба $$AC = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$, где $$a = 10$$ см - сторона куба.

Таким образом, $$OA = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

Выражение примет вид:

$$-2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{CC_1} - 0.5\overrightarrow{AC} = -2 \cdot 5\sqrt{2} - 10 - 0.5 \cdot 10\sqrt{2} = -10\sqrt{2} - 10 - 5\sqrt{2} = -15\sqrt{2} - 10$$

Вектор $$ -15\sqrt{2} - 10$$ можно представить, как вектор, направленный в противоположную сторону (относительно начала координат).

Длина вектора равна:

$$|-15\sqrt{2} - 10| = 15\sqrt{2} + 10 \approx 15 \cdot 1.41 + 10 \approx 21.15 + 10 = 31.15$$

Ответ: $$2 \cdot \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{CC_1} + 0.5 \cdot \overrightarrow{CA} = -15\sqrt{2} - 10$$. Его длина ≈ 31.15 см.

2) $$0.5 \cdot \overrightarrow{DB_1} + 0.5 \cdot \overrightarrow{K_1K} - \overrightarrow{KD} + 2 \cdot \overrightarrow{KO}$$

Определим положение точек:

• K и K1 - середины диагоналей BD и B1D1, следовательно, $$K_1K = BB_1$$
• O - точка пересечения диагоналей куба

Следовательно: $$ \overrightarrow{KO} = -\overrightarrow{OK}$$

Преобразуем выражение:

$$0.5 \cdot \overrightarrow{DB_1} + 0.5 \cdot \overrightarrow{BB_1} - \overrightarrow{KD} - 2 \cdot \overrightarrow{OK}$$

Так как O - центр куба, то $$ \overrightarrow{KO}$$ - это половина диагонали грани куба, т.е. $$KO = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2}$$

Длина диагонали грани куба равна $$10\sqrt{2}$$, поэтому $$KO = 5\sqrt{2}$$.

Из рисунка видно, что $$ \overrightarrow{KD}$$ - это половина стороны куба. Значит $$KD = \frac{1}{2} \cdot a = 5$$.

Диагональ куба $$DB_1 = a\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$$.

Подставим известные значения:

$$0.5 \cdot 10\sqrt{3} + 0.5 \cdot 10 - 5 - 2 \cdot 5\sqrt{2} = 5\sqrt{3} + 5 - 5 - 10\sqrt{2} = 5\sqrt{3} - 10\sqrt{2}$$

Вычислим длину вектора:

$$|5\sqrt{3} - 10\sqrt{2}| = |5 \cdot 1.73 - 10 \cdot 1.41| = |8.65 - 14.1| = |-5.45| = 5.45$$

Ответ: $$0.5 \cdot \overrightarrow{DB_1} + 0.5 \cdot \overrightarrow{K_1K} - \overrightarrow{KD} + 2 \cdot \overrightarrow{KO} = 5\sqrt{3} - 10\sqrt{2}$$. Его длина ≈ 5.45 см.