Найди синус острого угла треугольника, если дан косинус того же угла. Если \( cos \alpha = \frac{7}{25} \), то чему равен \( sin \alpha \)?

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое связывает синус и косинус одного и того же угла: \[ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \] Нам известно, что \( cos \alpha = \frac{7}{25} \). Подставим это значение в тождество: \[ sin^2 \alpha + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 \] \[ sin^2 \alpha + \frac{49}{625} = 1 \] Теперь выразим \( sin^2 \alpha \): \[ sin^2 \alpha = 1 - \frac{49}{625} \] \[ sin^2 \alpha = \frac{625 - 49}{625} \] \[ sin^2 \alpha = \frac{576}{625} \] Теперь найдем \( sin \alpha \). Так как угол острый, синус будет положительным: \[ sin \alpha = \sqrt{\frac{576}{625}} \] \[ sin \alpha = \frac{\sqrt{576}}{\sqrt{625}} \] \[ sin \alpha = \frac{24}{25} \] Таким образом, \[ sin \alpha = \frac{24}{25} \] Ответ: \( sin \alpha = \frac{24}{25} \) Пошаговое решение: 1. Записали основное тригонометрическое тождество: \( sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \). 2. Подставили известное значение \( cos \alpha = \frac{7}{25} \) в тождество. 3. Выразили \( sin^2 \alpha \) через известные значения. 4. Нашли \( sin \alpha \), извлекая квадратный корень из полученного значения, учитывая, что синус острого угла положителен.